Zbierka úloh numerickej matematiky z odboru fyziky

 Úloha 1

Úvodné vysvetlenie: Vo všeobecnosti sa vie, že každé teleso nabité nábojom Q, ktoré sa pohybuje so zrýchlením, podľa klasickej elektrodynamiky sformulovanej v podobe rovníc, ktoré dal Maxwell, musí vyžarovať elektromagnetické žiarenie. Ak mám systém tvorený elektrónom a protónom, tento systém je elektrickou analógiou planetárneho systému. Teda teoreticky by elektrón mohol krúžiť okolo nehybného protónu po kruhovej dráhe. Lenže potom sa elektrón pohybuje s nenulovým dostredivým zrýchlením a na základe klasickej elektrodynamiky musí aj v tomto prípade vyžarovať elektromagnetické žiarenie. Vyžiarené elektromagnetické žiarenie má vlastnú energiu, ktorá potom systému elektrón a protón chýba. Odchádzajúca energia v podobe elektromagnetického žiarenia sa prejaví tak, že sa zmenší kinetická energia elektrónu a ten sa následne priblíži k protónu. Preto, na základe klasickej elektrodynamiky, musí elektrón spadnúť na protón. Padá tam po špirále. 

Samotné hrubé zadanie: Zadaním tejto programátorskej úlohy je spočítať parametre tejto špirály. Keďže ide o pohyb po špirále nachádzajúcej sa v rovine, tak ma zaujíma závislosť uhla a vzdialenosti elektrónu a protónu od času. Teda ide o popis v polárnych súradniciach v rovine pohybu elektrónu, kde parametrom je čas. 

Bližšie upresnenie: Túto úlohu je možné riešiť mnohými spôsobmi, ale mňa zaujíma jeden špecifický spôsob. Riešim sústavu pohybových rovníc Newtona plus rovnice, ktoré dal Maxwell. Začnem tým, že vo vzdialenosti r0 obieha elektrón po kruhovej dráhe okolo protónu rýchlosťou v. Zaujíma ma guľový povrch s polomerom r1 so stredom v nehybnom protóne, ktorý je súčasne stredom súradnicovej sústavy. Na tomto guľovom povrchu sa zaujímam o vektor, ktorý zaviedol Poynting, ktorý predstavuje tok energie plochou. Ak tento poznám, viem numerickou integráciou spočítať množstvo odchádzajúcej energie cez povrch gule za jednotku času. Keď viem túto energiu, viem spočítať novú vzdialenosť elektrónu. Takýmto spôsobom viem spočítať parametere, spomínanej špirály a to je zadaním tejto úlohy.

Technická poznámka: Celý výpočet je vhodné robiť v sférických súradniciach. Výsledkom sú príslušné dátové súbory, ktoré predstavujú polohu elektrónu v polárnych súradniciach v závislosti od času a hodnoty vektora, ktorý zaviedol Poynting, v závislosti od času.

Dodatočné úlohy: Predmetnú špirálu vykreslite. Hodnotu vektora, ktorý zaviedol Poynting, treba tiež vykresliť. V sférických súradniciach má svoju veľkosť a dva uhly odklonu (anglicky tilting). Tieto má zmysel nie zobrazovať ako uhly s ohľadom na stred súradnicovej sústavy, ale ako uhly odklonu od kolmice na guľový povrch v mieste, v ktorom sa vektor, ktorý zaviedol Poynting, počíta. Pre vektor, ktorý zaviedol Poynting, treba vykresliť 3 takéto grafické mapy. Aby také niečo bolo možné vykresliť do roviny, rozumná sa zdá kolmá projekcia do roviny rovnobežnej s rovinou, v ktorej obieha elektrón okolo protónu alebo rovina kolmá na ňu, prípadne obe. Výsledok by vhodné vykresliť pre rôzne hodnoty r0, r1 a v . 

Technické prostriedky: Použiteľný prostriedok predstavuje nejaký balík pre numerickú matematiku s interpretovaným jazykom ako Octave pre Linux alebo Freemat pre Windows. Je možné, že pre zrýchlenie výpočtu bude potrebné vykonať analytické integrovanie. Na to sa dá použiť počítačový systém pre symbolické algebraické výpočty Maxima (Computer algebra system - CAS). Nakoľko však budú úlohy stále ťažšie, odporúčam sa odpojiť od systémov s interpretovaným jazykom a programovať v jazyku C. Vhodný je akýkoľvek rozumný kompilátor - Visual C++, gcc, thin C, lcc, watcom C, či iné kompilátory. 

Úloha 2

To isté zadanie ako úloha 1 len s tým, že pridáme konštantné elektrické pole, ktoré má intenzitu elektrického poľa o rád až dva slabšie ako elektrické pole od protónu vo vzdialenosti, kde obieha elektrón. (Poznámka: Nepočítať presne, ale použiť poruchový počet. Približne viem, ako sa to robí v hamiltonovom formalizme, pre lagrangeov formalizmus mi to v tento okamih nie je úplne jasné.)  

Úloha 3 

Zadanie ako v úlohe 2, len elektrické pole nie je konštantné, ale mení sa s frekvenciou f. K vykresľovaniu pribudnú tri ďalšie parametre: maximum a minimum intenzity elektrického poľa a frekvencia f. Pozor! Premenlivé elektrické pole produkuje premenlivé magnetické pole, čo treba uvážiť.


   

 

Komentáre

Zverejnenie komentára

Obľúbené príspevky z tohto blogu

Lietajúci objekt tvaru elipsoidu - pristávanie pomocou navádzacieho rádio signálu

Aby elipsoid z predchádzajúcej fyzikalno-simulačnej úlohy mohol použiť rádio signál pre pristávanie na letisku v rohu miestnosti tvaru kocky, potrebuje vedieť stanoviť gradient elektromagnetického poľa, ktoré predstavuje rádiosignál. Rádiosignál je elektromagnetické vlnenie s vlnoplochami tvaru gule. Predpokladáme, že steny miestnosti skoro vôbec rádiosignál neodrážajú, skoro celá jeho energia prejde stenami miesnost a uniká do okolitého priestoru.  Okrem gradientu signálu potrebuje elipsoid poznať svoje natočenie v priestore. Teda potrebuje poznať aký uhol zvierajú jeho dlhá a krátka poloos s osami súradnicovej sústavy tvorenej hranami kocky. Predpokladáme, že počiatok súradnej sústavy je umiestnený v tom rohu miestnosti, odkiaľ pochádza rádiosignál. Na detegovanie rádiosignálu treba anténu. Ḱeďže ide o gradient, treba 4 antény. Dve antény sú umiestnené pozdľž dlhej polosi elipsoidu a druhé dve pozdľž krátkej polosi. Takto vieme detegovať priemet gradientu elektromagnetického poľa...
Čítať ďalej

Úlohy - planetarne systémy

Úloha: Spomaľovanie rotácie Zeme Vie sa, že rotácia Zeme sa spomaľuje. Vie sa tiež, že Mesiac sa od Zeme vzďaľuje, kedysi bol iba v tretinovej vzdialenosti. Nemal by sa vzďaľovať donekonečna. Teraz rotácia Zeme a obeh Mesaca sú približne rovnaké aj neskôr majú byť rovnaké až na to, že obeh Mesiaca a rotácia Zeme majú napokon byť radové v desiatkach dní a nie iba 24 hodín. Nikdy som ten výpočet nevidel. Takže výslovím iba hypotezu: Z doby T rotácie Zeme rovnej 24 hodín, poznáme uhlovú rýchlosť rotácie. Na Zem pôsobia dve gravitačné sily. Jedna od Slnka a druhá od Mesiaca. V každom bode povrchu Zeme treba vypočítať ich vyslednicu a napokon aj výsledný moment sily s ohľadom na os otáčania Zeme, ktorá ako vieme, nie je kolmá na rovinu ekliptiky. Keď všetky tieto momenty síl sčítame, dostaneme výsledný moment síl, z ktorého cez moment zotrvačnosti Zeme vieme vypočítať uhlové spomalenie. V ešte komplikovanejsej verzii, by som moment sily nepočítal iba z povrchu, ale z objemu.
Čítať ďalej

Úlohy z optiky

 Slnko je v hrubom priblížení približne guľa so svietivosťou, ktorá je rovnaká v každom bode jeho povrchu (zabudnime na chvíľu na slnečné škvrny a pro-tuberanciu). Vďaka tomu sa pri svojej veľkosti a jeho vzdialenosti od Zeme javí pozemskému pozorovateľovi ako disk a nie guľa. Je to dôsledok, že každý lúč, v každom smere, ktorý prichádza od Slnka je intenzita svetla rovnaká. Definujme veličinu kontrast, ktorá predstavuje pomer rozdielu maximálnej intenzity svetla v danom smere od Slnka k minimálnej intenzite svetla v inom smere ku maximálnej intenzite. Teda r=(I_max-I_min)/I_max .  Dôvod prečo vidíme disk, dvojrozmerný útvar, a nie guľu je ten, že r je blízke nule. Zadefinujme rozumnú hodnotu r, pri ktorej už disk nepovažujme za rovnomerne osvetlený. Úloha 1 (pomerne triviálna): Pri akej vzdialenosti od Slnka už pozorovateľ nebude vnímať Slnko ako rovnomerne osvetlený útvar. Úloha 2 (netriviálna a neviem z fleku, ako by som ju narýchlo riešil): Pri akej vzdialenosti od Slnka...
Čítať ďalej