Exotické úlohy

Raz mi môj bývalý kolega zaoberajúci sa všeobecnou teóriou relativity povedal, že časopriestor zakrivuje všetko, čo má energiu a hybnosť.

Vo všeobecnej teórii relativity gravitácia v zmysle ako ju formuloval Newton neexistuje. Objekty sa v zakrivenom časopriestore pohybujú po geodetických čiarach.

Ak mám zakrivený povrch a trvám na tom, aby pohyb z bodu A do bodu B prebiehal po tomto povrchu, tak najkratšia spojnica medzi bodmi A a B sa nazýva geodetická čiara. Povrch je dvojrozmerný objekt, ale definíciu geodetickej čiary je možné rozšíriť aj na objekty s väčším počtom rozmerov.

Vo všeobecnej teórii relativity hmotné objekty zakrivujú časopriestor a tento zakrivený časopriestor im určuje ako sa majú v ňom pohybovať, pričom sa vie, že objekty sa v ňom pohybujú po geodetických čiarach. 

Od kolegu som sa ale dozvedel, že časopriestor nezakrivujú iba objekty s hmotnosťou, ale akýkoľvek objekt, ktorý má energiu a hybnosť. Teda aj prakticky pohybujúce sa nehmotné objekty s nábojom.

V súvislosti s tým ma napadajú dve úlohy, pričom neviem, či ich kladiem správne a či takto formulované majú vôbec v kontexte všeobecnej teórie relativity vôbec zmysel.

Úloha 1 (Klasická): Mám nehmotný objekt s polomerom r a nábojom Q. Akou uhlovou rýchlosťou musí rotovať, aby sa zadalo, že má hmotnosť m. 

Poznámka: Táto úloha sa riešila pre elektrón. Problémom je, že z doteraz známeho vyplynulo, že aby sa elektrón pri predpokladanom tvare gule a pri svojom známom náboji e javil, že má takú elektrónovú hmotnosť ako ju poznáme z meraní, musel by rotovať uhlovou rýchlosťou, ktorá by znamenala, že musí mať na rovníku obvodovú rýchlosť väčšiu ako je rýchlosť svetla. To viedlo ako jeden z viacerých dôvodov k zavrhnutiu vysvetlenia vlastností elektrónu a atómov podľa klasickej elektrodynamiky, ktorú sformuloval do svojich rovníc Maxwell, a uprednostneniu kvantovo-mechanického výkladu. Avšak ani kvantová mechanika nevie vysvetliť štruktúru elektrónu, ale vie lepšie vysvetliť vlastnosti atómov ako klasická elektrodynamika. Možno by bolo dobré si ten výpočet overiť.

Úloha 2: Je známa hmotnosť Slnka a aj uhlová rýchlosť jeho rotácie. Predpokladajme, že Slnko je duté a má 1/10 svojej hmotnosti. Aký celkový elektrický náboj musí byť na jeho povrchu, pokiaľ vieme, že je rozložený rovnomerne, aby vo vzdialenosti, v ktorej obieha Merkúr (obieha v rovine určenej rovníkom guľového Slnka), bolo zakrivenie časopriestoru rovnaké ako pri pôvodnej hmotnosti Slnka.

Toto by mali byť tie jednoduchšie úlohy z všeobecnej teórie relativity. Priznám sa bez príslušnej literatúry a príslušného softvéru, netuším ako by som ich riešil.

Úloha 3:

Ak by sme pripustili, že Slnko je duté, ako by vyzeral pohyb malej planéty v jeho vnútri? Predpokladám ten prípad s veľkým elektrickým nábojom na povrchu rotujúceho Slnka.