Náročnejšie úlohy na hydrostatiku a hydrodynamiku

Úvodom

Nasledujúce úlohy sú motivované reálnym fyzikálnym javom, ktorým je morský príliv a odliv. Tento je spôsobený gravitačným pôsobením, ktorý spôsobuje nebeské teleso - Mesiac. Inou zaujímavou kategóriou sú elektrárne, ktoré na pohon turbín používajú práve príliv a odliv. Ale to je príliš pokročilá téma. Fyzikálna úloha simulácie prúdenia vody v dôsledku gravitačného pôsobenia, ktoré spôsobuje Mesiac nie je úplne triviálna, ale existujú zjednodušenia, ktoré umožňujú tento problém pomerne efektívne uchopiť.

Ideálnu kvapalinu charakterizuje nulová viskozita a dokonalá ne-stlačiteľnosť. Ne-stlačiteľnosť charakterizujeme slovami, ktoré hovoria, že objem kvapaliny sa nemení. Slovo objem evokuje pocit troj-rozmernosti. Úloha sa dá riešiť aj v dvoch-rozmeroch. Potom ne-stlačiteľnosť znamená, že kvapalina nemení svoj obsah.

Hydrostatika definuje stavovú veličinu tlak. Ten je definovaný ako sila na plochu. Namiesto takto definovaného tlaku viem zaviesť pojem ideálne dvoj-rozmernej kvapaliny a tam definovať dĺžkový tlak ako silu na dĺžku úsečky. Tak je možné potom riešiť analogický problém pre dva rozmery.

Úloha 1

Uvažujme dvojrozmernú nádobu obdĺžnikového tvaru a v nej ideálnu dvojrozmernú kvapalinu. Na povrch pôsobí dĺžkový tlak opísaný funkciou p(x). Pričom táto funkcia je analytická a dvakrát diferencovateľná. Úlohou je vypočítať funkciu, ktorá bude predstavovať krivku povrchu kvapaliny h(x). Pozor!! Vo všeobecnosti to nebude rovnaká funkcia ako p(x).

Návod: Nádobu treba rozdeliť na segmenty dĺžky dx a výšky h(x) a napísať rovnice pre rovnováhu síl. Teda tlak sprava, tlak zľava, tlak p(x) a hydrostatický tlak odvodený od výšky hladiny v mieste x, ktorý je odvodený od hľadanej výšky hladiny h(x). Všetko toto treba dať do jednej diferenciálnej rovnice a tú potom riešiť.

Úloha 1a

To isté urobiť pre trojrozmerný prípad, keď mám zadaný tlak podľa obvyklej definície ako funkciu p(x,y). Úloha je podstatne náročnejšia, lebo namiesto segmentu dĺžky dx, mám elementárny plošný segment dx.dy, na ktorý pôsobia sily nie z troch strán, ale z piatich. Dve pozdĺž osi x, dve pozdĺž osi y a jedna zhora. 

Poznámka: Úlohy 1 a 1a netreba riešiť numericky, dajú sa pomerne jednoducho riešiť analyticky.

Úloha 2

Uvažujme teraz kruh o hmotnosti M s veľkým polomerom R a okolo neho ideálnu kvapalinu o hmotnosti m, ktorá ho obopína tak, že zložený objekt, hmotný pevný kruh a kvapalinou predstavuje väčší kruh o polomere h+R. Pričom hrúbka kvapalnej vrstvy h je aspoň dva rády menšia ako polomer pevného kruhu R. Je zrejmé, že za uvedených podmienok pevné hmotné teleso pôsobí gravitačne na kvapalinu a toto gravitačné pôsobenie možno aproximovať v mieste kvapaliny konštantným radiálnym gravitačným poľom, ktoré má v každom mieste rovnakú veľkosť, ale vždy smeruje do stredu pevného kruhu.

Na túto sústavu naložíme vonkajšie homogénne gravitačné pole, ktoré je aspoň o rád slabšie ako konštantné radiálne gravitačné pole. Zaujíma nás krivka, ktorá opisuje povrch dvojrozmernej kvapaliny za tejto novej situácie.

Tip na riešenie: Medzi-kruhovú plochu predstavujúcu kvapalinu rozvinieme do obdĺžnika a nájdeme hodnotu gravitačného poľa zloženého z pôvodnej veľkej radiálnej zložky a pôvodného homogénneho poľa v každom mieste obdĺžnika. Úlohu treba riešiť periodicky. Teda obdĺžnik o dlhšej strane dĺžky 2.pi.R a výške h treba nekonečne krát replikovať, periodicky opakovať. Dôvod je ten, že v pôvodnom kruhovom prevedení pravá strana obdĺžnika tlačí tlakom na ľavú a ľavá na pravú. To viem napraviť práve vytvorením takéhoto periodického systému. Príslušné rovnice treba písať práve pre takýto systém. 

Úloha 3

Riešim úlohu 2, len s tou obmenou, že vektor vonkajšieho homogénneho rotuje s frekvenciou f. Toto už nie je také triviálne nakoľko pre malé frekvencie sa môžem tváriť, že riešením pre v každý časový okamih je riešenie to isté ako v úlohe 2 len pre to pootočené homogénne gravitačné pole. V skutočnosti toto je situácia, ktorú treba už riešiť hydrodynamicky.

Poznámka: Kvantová optika pozná pojmy ako kvázi-statický stav a aproximácia pomaly sa meniacej amplitúdy. Myslím, že ten prvý prístup pre malé hodnoty frekvencie f je použiteľný aj tu. O tom druhom pochybujem, ale bez toho, že by som si sám napísal príslušné rovnice sa neviem kompetentne vyjadriť.

Úloha 4

Kvapalina je ne-stlačiteľná, ale nie je ideálna a má svoju viskozitu. Teraz nechávam kruh rotovať svojou frekvenciou f1 a ten pri rotácii kvapalinu strháva. 

Poznámka: Toto je už silne netriviálne.

Úloha 5

Úlohu 2  riešiť nie pre kruh, ale pre guľu. Riešenie sa podstatne skomplikuje. Musím zobrať to homogénne gravitačné pole a v jeho smere nakrájať guľu na segmenty hrúbky dx. Každý segment predstavuje dvojrozmerný prípad s kruhom a homogénnym gravitačným poľom v ňom. Problémom navyše je vzájomná interakcia segmentov. Takto pribudnú k pôvodným rovniciam ďalšie, ktoré tam vnesú okrem súradnice x, aj súradnicu y.

Úloha 6 a 7

Úlohy 3 a 4 riešiť pre guľu. Toto si už neviem dosť dobre predstaviť. Myslím, že úlohu treba zjednodušiť v tom zmysle, že najskôr nechám gravitačne pôsobiť a rotovať valec a potom toto riešenie skomplikujem tak, že guľu rozdelím na valcové segmenty a riešim následne vzniknuté rovnice, ktoré budú navzájom previazané.

Dodatočné poznámky: Úlohy 1 až 5 by mal vedieť vyriešiť študent, ktorý prešiel prvým ročníkom FMFI UK v Bratislave. Pričom riešenie by malo existovať analytické. 

Úplné riešenie všetkých úloh by sa malo dať elegantne sformulovať prostriedkami teoretickej mechaniky, menovite jej pod-oblasti, ktorá sa volá mechanika kontinua. Toto je, ale učivom až druhého ročníka spomínanej vysokej školy a ja osobne by som na použitie toho matematického aparátu musel siahnuť po príslušnej knihe.